MATLAB в инженерных и научных расчетах

         

Решение задачи кинематика точки


Ответ:  при  t1= 0 с : V = 0 м / с;  a = 2 м / с2;  аt= 2 м / с2;  аn= 0 м / с2;  r = 0,25 м.

Решение задачи кинематика точки в общем виде можно получить путём применения символьных вычислений системы MATLAB. При движении точки на плоскости (x,y) её кинематические характеристики определяются следующей  m-функцией:

function[Vx,Vy,V,ax,ay,a,at,an,ro]=kinema(x,y);

%кинематика точки

%входные параметры - х(t), y(t)- уравнения движения точки

Vx=diff(x,'t');

Vy=diff(y,'t');

V=sqrt(Vx^2+Vy^2);

ax=diff(Vx,'t');

ay=diff(Vy,'t');

a=sqrt(ax^2+ay^2);

at=(Vx*ax+Vy*ay)/V;

an=sqrt(a^2-at^2);

ro=V^2/an;

В качестве примера рассмотрим уравнения движения  x = 4 t , y = 16 t2 – 1. Необходимо найти кинематические характеристики в любой момент времени, а также в момент времени  t1 = 0,5 c (  x, y – м;  t – c ).

Задача решается с помощью следующего  m – сценария:



>> syms x y t Vx Vy V ax ay a at an ro

>> x=4*t;y=16*t^2-1;

>> [Vx,Vy,V,ax,ay,a,at,an,ro]=cinema2d(x,y)

Vx =

      4

Vy =

     32*t

V =

     4*(1+64*t^2)^(1/2)

ax =

     0

ay =

    32

a =

    32

at =

    256*t/(1+64*t^2)^(1/2)

an =

    32*(1-64*t^2/(1+64*t^2))^(1/2)

 ro =

     1/32*(16+1024*t^2)/(1-64*t^2/(1+64*t^2))^(1/2)

Вид траектории определяется командой  -  ezplot(x2-1,-2,2)

Рис. 4.10. Траектория движения точки

В момент времени  t1 = 0,5 c кинематические характеристики определяются командой  подстановки  - subs

>> K=[Vx,Vy,V,ax,ay,a,at,an,ro];

>> t=0.5;

>> subs(K)

ans =

  Columns 1 through 6

    4.0000   16.0000   16.4924         0   32.0000   32.0000

  Columns 7 through 9

   31.0446    7.7611   35.0464

Аналогичным образом решается задача кинематики точки при её движении в пространстве: в этом случае m – функция задаётся в виде

function[Vx,Vy,Vz,V,ax,ay,az,a,at,an,ro]=cinema3d(x,y,z);

%кинематика точки

%входные параметры - х(t), y(t), z(t) - уравнения движения точки

Vx=diff(x,'t');

Vy=diff(y,'t');

Vz=diff(z,'t');

V=sqrt(Vx^2+Vy^2+Vz^2);


ax=diff(Vx,'t');
ay=diff(Vy,'t');
az=diff(Vz,'t');
a=sqrt(ax^2+ay^2);
at=(Vx*ax+Vy*ay+Vz*az)/V;
an=sqrt(a^2-at^2);
ro=V^2/an;
Рассмотрим пример
>> syms x y z t
>> x=-2*t^2+3;y=-5*t;z=3*t;
>> [Vx,Vy,Vz,V,ax,ay,az,a,at,an,ro]=cinema3d(x,y,z)
Vx =
      -4*t
Vy =
      -5
Vz =
      3
V =
      (16*t^2+34)^(1/2)
ax =
     -4
ay =
      0
az =
      0
a =
      4
at =
     16*t/(16*t^2+34)^(1/2)
an =
     4*(1-16*t^2/(16*t^2+34))^(1/2)
ro =
    1/4*(16*t^2+34)/(1-16*t^2/(16*t^2+34))^(1/2)
Траектории движения – ezplot3(x,y,z,[0,8])

В момент времени  t1
= 0,5 c
>> K=[Vx,Vy,Vz,V,ax,ay,az,a,at,an,ro];
>> t=0.5;
>> subs(K)
ans =
Columns 1 through 6
-2.0000   -5.0000    3.0000    6.1644   -4.0000         0
Columns 7 through 11
0    4.0000    1.2978    3.7836   10.0433
                                                                                      Таблица 4.2

Номер
 варианта
Уравнения движения
t1, c
x = x ( t ), см
y = y ( t ), см
1
- t 2 + 3
- 5 t
1/2
2
4 cos2(? t / 3) + 2
4 sin2(? t / 3) - 1
1
3
- cos(? t2 / 3) + 3
sin(? t2 / 3) - 1
1
4
4 t + 4
- 4 / (t + 1)
2
5
2 sin(? t / 3) – 1
- 3 cos(? t / 3) + 4
1
6
3 t2 + 2
- 4 t
1/2
7
7 sin(? t2 / 6) + 3
2 - 7 cos(? t2 / 6)
1
8
- 3 / (t + 2)
3 t + 6
2
9
3 t2 – t + 1
5 t2 – 5 t / 3 - 2
1
10
 - 4 cos(? t / 3)
- 2 sin(? t / 3) – 3
1
11
- 4 t2 + 1
- 3 t
1/2
12
5 sin2(? t / 6)
- 5 cos2(? t / 6) – 3
1
13
5 cos(? t2 / 3)
- 5 sin(? t2 / 3)
1
14
- 2 t – 2
- 2 / (t + 1)
2
15
4 cos(? t / 3)
- 3 sin(? t / 3)
1
16
3 t
4 t2 + 1
1/2
17
7 sin2(? t / 6) – 5
 - 7 cos2(? t / 6)
1
18
1 + 3 cos(? t2 / 3)
3 sin(? t2 / 3) + 3
1
19
- 5 t2 – 4
3 t
1
20
2 – 3 t – 6 t2
3 – 3 t / 2 – 3 t2
0
21
6 sin(? t2 / 6) – 2
6 cos(? t2 / 6) + 3
1
22
7 t2 – 3
5 t
1/4
23
3 – 3 t2 + t
4 – 5 t2 + 5 t / 3
1
24
- 4 cos(? t / 3) – 1
- 4 sin(? t / 3)
1
25
- 6 t
- 2 t2 – 4
1
26
8 cos2(? t / 6) + 2
- 8 sin2(? t / 6) - 7
1
27
- 3 – 9 sin(? t2 / 6)
- 9 cos(? t2 / 6) + 5
1
28
- 4 t2 + 1
- 3 t
1
29
5 t2 + 5 t / 3 – 3
3 t2 + t + 3
1
30
2 cos(? t2 / 3) – 2
- 2 sin(? t2 / 3) + 3
1
Содержание раздела